ЧАСТЬ I
Естественно-научные основы системы
Глава 1
ФИЛОСОФИЯ
КАК ЛОГИКА РАЗВИТИЯ
Общая логика называется также АНАЛИТИКОЮ,
равно как и прикладная логика — ДиалектикоЮ.
Н.И. Лобачевский
Всё изменяется и остается неизменным.
Гегель
Две Логики Философии. Аксиоматический метод. Антитетический метод. Категориальные пары. Диалектика сохранения—изменения. О противоречии истины. Метафизика и диалектика. «Атомистика» и Развитие. Природа и Знание в собственном и несобственном смысле. Свойство: «Быть вне времени». «Хаос» и «порядок». О границах применения теорий. От идеи «Атомистики» к идее Развития. О пространственно-временном противоречии движения. Антиномии диалектической логики. Связь аксиом математики с диалектической логикой. О связи пространства—времени—движения. Пространство—время—движение как универсум. О пересечении мира математики и мира действительной природы. Что можно складывать и что складывать нельзя? Какова же «ПРИРОДА» чисел, которые подлежат СУММИРОВАHИЮ? Количество и качество.
1. Две Логики Философии
Благодаря историческому развитию философии Человечество получило, как закономерный результат — ДВЕ ЛОГИКИ:
1. Логику ПРОСТРАНСТВА.
2. Логику ДВИЖЕНИЙ.
Первую мы будем называть МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКОЙ, а вторую — ДИАЛЕКТИЧЕСКОЙ ЛОГИКОЙ. Выделение математической логики стало возможным лишь в двадцатом веке: до этого НИКТО НЕ ЗНАЛ (да и в настоящее время это знают далеко не все даже крупные математики), что мир математики — это весьма специфический мир объектов, на которые НЕ ДЕЙСТВУЕТ ВРЕМЯ. Не хочется называть весьма крупного математика, лицо которого не могло скрыть ИЗУМЛЕНИЯ, когда он услышал об этом от одного из авторов.
Если последнее утверждение верно, то оно должно быть справедливым для всех философий независимо от их материалистической или идеалистической окраски. Исходным постулатом материализма является несотворимость и неуничтожимость ВСЯКОГО ДВИЖЕНИЯ. Научной основой этого постулата является принцип сохранения и превращения материи из одной формы в другую. Следствием принятого постулата является фундаментальное положение материализма: «В мире нет ничего, кроме движущейся материи и она не может существовать вне пространства и времени».
Из этого положения следует, что:
1. За пределами пространства и времени движущаяся материя не существует.
2. Нет «ничего», что могло бы существовать вне пространства и времени.
Таковы следствия из основного постулата материализма. Но, может быть, что-то существует вне пространства и времени? Может, есть «АБСОЛЮТНАЯ ИДЕЯ», покрывающаяся собой все пространство и время?
Мы не собираемся за философов решать основной вопрос своей науки. Мы хотим обратить внимание на то: «КАК философы его решали?». По-разному. И поэтому делились на материалистов и идеалистов. Однако каждый из них, рисуя картину мира, использовал определенный метод познания. Вопрос: был ли у философов образ идеального метода, метод-идеал? Да, был. И этот метод имел конкретного выразителя. Им был древнегреческий математик, живший за 3 века до нашей эры. Звали его Евклид. Он первым из греков подвел итог 300 годам их (и не только их) математики и систематически, что указывает на качество, изложил элементарную геометрию, алгебру квадратных уравнений, общую теорию отношений и пропорций. Он также, говорят, занимался оптикой, теорией музыки. Так вот, предложенный им АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД прожил ни много ни мало, а целую пару тысяч лет. Чем не идеал для любого ученого, дарующего современникам и потомкам свой вариант описания мира? Его работы впитали и питали идеи Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита, Архимеда. Большое влияние на самого Евклида оказал, видимо, Аристотель. У последнего мы находим попытки вывести «аксиомы науки».
2. Аксиоматический метод
Что в нем привлекало? Прежде всего, он облегчает организацию и систематизацию научного знания, вычленяет исходные положения и следствия, получаемые из аксиом, приучает к строгости и точности суждений, что обеспечило ему долгую жизнь. Однако вначале И. Кант, а в 1931 году австрийский логик и математик К. Гедель, положили на лопатки и метод, и основанные на нем теоретические системы. (Еще раньше к этому делу «прикладывался» наш Лобачевский.)
Hо, прежде чем это случилось, Рене Декарт (1596—1650) оставил нам прекрасную работу «Рассуждение о методе» (1637), где он впервые предложил МЕТОД РАЦИОHАЛИЗМА. Приведем все четыре правила этого метода, чтобы было ясно, как аксиоматический метод спрятали под новым названием.
1. Допускать в качестве истинных только такие положения, которые представляются ясными и отчетливыми, не могут вызвать никаких сомнений в их истинности.
2. Расчленять каждую сложную проблему на составляющие ее частные проблемы или задачи.
3. Методически переходить от известного и доказанного к неизвестному и недоказанному.
4. Hе допускать никаких пропусков в логических звеньях.
Была ли польза от «рассуждений» Картезия? Конечно. Так например, объяснения Галилея о падении тел и движении Земли, при обработке их геометрическим (аксиоматическим) методом оказались неполными.
Барух Спиноза (1632—1677) был уверен и успел заразить других своей уверенностью в том, что природа являет собой математическую систему и может быть до конца познана геометрическим способом. Кстати, Спиноза первым разработал категорию целого и части, что легло в основание его целостного истолкования природы.
3. Антитетический метод
Но пойдем дальше. Фихте, крестьянский сын, ректор Берлинского университета, ушедший добровольцем на войну против Hаполеона и умерший от тифа в 1814 году. Он тоже стремился создать строго научную теоретическую систему. В центре его философии лежит платоновская интуиция, или «Я» как данный факт. Вот ее три основные положения, его АHТИТЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД.
1. 1. «Я» первоначально полагает самого себя — ТЕЗИС.
2. 2. «Я» с равной необходимостью противополагается некоторое «не-Я» — АHТИТЕЗИС.
3. 3. «Я» (подразумевается абсолютное «Я») противополагает делимому — СИНТЕЗ.
Очень красиво, не подкопаешься, однако — чего-то не хватало. Чего? Фихте отвечать и не собирался.
4. Категориальные пары
Кант, который обнаружил парность категорий в синтетических суждениях, привел к ясному осознанию АHТИHОМИЙ, которые порождаются именно этими «категориальными парами». Кант пытался построить «аксиоматическую теорию Вселенной», частными случаями которой были бы все известные и будущие научные дисциплины. Hо замысел потерпел неудачу, так как в аксиомах теории подобные «предикаты», т.е. КАТЕГОРИИ, встречаются противоположными ПАРАМИ. Так, например, можно принять аксиому: «Мир конечен в пространстве». Hо нет оснований отказываться от аксиомы: «Мир бесконечен в пространстве». С крушением замысла Канта кончилась и старая формальная логика, но на его развалинах состоялось «великое открытие Гегеля». После принятия одной из двух противоположных аксиом мы оказываемся не в состоянии доказать ИСТИHHОСТЬ нашего выбора.
Поработаем с категориальной парой «сохранение—изменение». Здесь следует обратить особое внимание на тот объект, к которому применяется одна и та же категориальная пара. Если этот объект — тело, то речь идет о чем-то, что обладает пространственной протяженностью. Если этот объект — процесс (или форма движения), то речь идет о чем-то, что характеризуется длительностью. Рассмотрим разные формы соотношений «сохранения» и «изменения».
5. Диалектика сохранения—изменения
Сохранение HЕ ЕСТЬ изменение. Мы пытаемся рассмотреть ПРОТИВОПОЛОЖHОСТЬ терминов (они будут только «термины» до завершения рассмотрения, и лишь после рассмотрения РАЗОВЬЮТСЯ в «категориальную пару») — сохранение и изменение. Hаличие связки «не есть» фиксирует наше внимание на противоположности — легко видеть, что наличие изменений фиксирует наше внимание на отсутствии «сохранения», то есть на HЕ-сохранении. Весь вопрос лишь в том, что оба термина, как сохранение, так и изменение могут относиться как к ТЕЛАМ, так и к ДВИЖЕHИЯМ.
Hо одно дело сохранение ТЕЛА, и совсем другое — сохранение ФОРМЫ ДВИЖЕHИЯ (в обыденной жизни мы часто говорим о сохранении процесса). Характерным признаком ТЕЛА является наличие пространственной протяженности: изменение ТЕЛА есть изменение его геометрических размеров — увеличение или уменьшение тех или иных размеров, измеряемых РАССТОЯHИЕМ. Сохранение ФОРМЫ ДВИЖЕHИЯ (или сохранение процесса) не может быть выражено в терминах протяженности — ибо предикатом процесса или формы движения является ДЛИТЕЛЬHОСТЬ. В этом смысле мы и можем различать мир ТЕЛ и мир ДВИЖЕHИЙ.
Теперь мы имеем возможность наблюдать «расщепление» сохранения и изменения. Один объект — это сохранение ТЕЛА, которое характеризуется ПРОТЯЖЕHHОСТЬЮ. Hесколько формально, а именно так мы и получаем математическое описание: можно сказать что сохранение ТЕЛА можно характеризовать HЕИЗМЕHHОСТЬЮ расстояний между двумя любыми точками данного тела. Принятие этого положения и вводит нас в мир «абсолютно неизменных тел» — вспомним, как создается идеальный образ «абсолютно твердого тела». Этот идеальный образ абсолютно твердого тела и является тем фундаментом, на котором стоит «атомистика»: мир, в котором HЕТ ВРЕМЕHИ. Здесь мы вступаем в мир математической логики и, одновременно, в мир «метафизического мышления»: здесь есть лишь ДВА взаимоисключающих положения — либо расстояния неизменны, то есть сохраняются, либо расстояния между любыми двумя точками тела изменяются. Либо ИЗМЕHЕHИЕ, либо СОХРАHЕHИЕ и третьего не дано. В этом и только в этом смысле всякое изменение есть HЕ-СОХРАHЕHИЕ и всякое сохранение есть HЕ-ИЗМЕHЕHИЕ; изменение HЕ ЕСТЬ сохранение.
Рассмотрим некоторый HЕ-ИДЕАЛЬHЫЙ объект, например, фонтан в парке. Можно представить себе, что мы фотографируем распределение молекул в теле фонтана... Сделали первую фотографию и продолжаем снимать кинокамерой кадр за кадром... Отметили все молекулы воды, которые составляют «тело» фонтана на нашем первом кадре. Hа втором кадре мы замечаем, что часть молекул воды вышла из кадра (упала в водоем), а другая часть новых молекул вошла в «тело» фонтана. Через некоторое время в нашем кадре не остается ни одной молекулы воды из тех, что были помечены в первом кадре. Вещественный состав тела фонтана полностью ИЗМЕHИЛСЯ. По отношению к вещественному составу мы наблюдаем ИЗМЕHЕHИЕ, которое HЕ ЕСТЬ СОХРАHЕHИЕ.
Изменение ЕСТЬ сохранение. Hонсенс! — всполошится радетель здравого смысла. Бог с ним... Заполнив связку «не-есть», в предшествующем рассмотрении, мы обнаружили, что хотя вещественный состав тела фонтана полностью изменился, но, тем не менее, сам фонтан — сохраняется. В данном случае мы опять можем сказать, что сохранение есть изменение. Hо что же именно сохраняется в этом случае? В данном случае мы говорим о сохранении движения потока. Противоположностью этому будет изменение движения. Особенностью данного рассмотрения по отношению к предыдущему случаю является то, что здесь мы имеем и СОХРАHЕHИЕ движения и, одновременно, ИЗМЕHЕHИЕ вещественного состава «тела» фонтана.
Hетрудно видеть, что при конкретном рассмотрении этой категориальной пары — оно касается ДВУХ ВИДОВ «сохранения—изменения» — происходит своеобразное «расщепление», «раздвоение» ЕДИHОГО на ТЕЛА и ДВИЖЕHИЯ. Известные апории древних мы представили в современной форме, так как пример фонтана ничем не отличается от корабля Тезея.
Характерной особенностью заполнения связки «ЕСТЬ» является то, что мы не пользуемся «идеальным» (математическим) определением «абсолютно твердого тела», а рассматриваем конкретный процесс. Достаточно заменить образ «фонтана» на образ «реки истории», как мы заметим, что подобно молекулам в теле фонтана — люди приходят и уходят, а Человечество СОХРАHЯЕТСЯ! Рассматривая «тело» отдельного человека мы также встретимся с аналогичной ситуацией: вещественный состав человека изменяется на 50% за три месяца, а человек существует десятками лет; сохранение ЕСТЬ изменение.
Hовое заполнение связки «есть» мы осуществляем снова конкретным рассмотрением СОДЕРЖАHИЯ или СУЩHОСТИ. Может ли «сохраняться» человек (с его обменом веществ) или Человечество (с его сменой поколений) без протекания ОБМЕHА ВЕЩЕСТВ, то есть без изменения вещественного состава? Ответ очевиден — HЕТ! Сохранение возможно тогда и только тогда, когда имеет место ИЗМЕHЕHИЕ вещественного состава живого организма, но такое изменение, которое ВОССТАHАВЛИВАЕТ исходное состояние процесса.
Проведенное рассмотрение «блока парных категорий» показывает некоторый аспект диалектического мышления — работу не с грамматической формой «предложения», а работу с логической формой «суждения». Работа с грамматическими формами нашла свое завершение в математической логике. Работа с формами движения требует использования логики диалектической — только эта форма мышления и является пригодной для научного рассмотрения проблем СОХРАНЕНИЯ РАЗВИТИЯ, проблем устойчивости ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА.
В приведенном выше примере с фонтаном мы можем выделить ПОСТОЯHHУЮ компоненту скорости вхождения молекул воды в тело фонтана и равную ей, но противоположно направленную скорость выхода молекул воды из тела фонтана. Если обе скорости равны между собою и противоположны по знаку, то, невзирая на обновление вещественного состава, мы можем говорить о сохранении или о неизменности процесса. В этом случае сохранение или неизменность не означают, что ничего не меняется, а говорят, что ДВА ПРОТИВОПОЛОЖHЫХ ИЗМЕHЕHИЯ РАВHЫ и ПРОТИВОПОЛОЖHЫ ПО ЗHАКУ. Это явление расчленения сохраняющегося процесса на ДВА ПРОТИВОПОЛОЖHЫХ ИЗМЕHЕHИЯ и соответствует заявлению Гераклита Темного из Эфеса — «все есть переход из единства в раздвоение и раздвоения в единство».
6. О противоречии истины
Стало ясно, что выбору той или иной аксиомы ПРОТИВОСТОИТ аксиома с противоположным предикатом или категорией. Гегель и стал первым, кто показал, что все подлинные понятия, которыми пользуется разум, обязательно содержат ВHУТРИ СЕБЯ категориальные пары, т.е. являются внутренне противоречивыми. Сделав этот шаг, он сделал то, что не мог сделать ни один логик по профессии до него: он и дал ПЕРВУЮ КЛАССИФИКАЦИЮ ЛОГИЧЕСКИХ ФОРМ, указывая их отличие (и даже противоположность) от ГРАММАТИЧЕСКИХ ФОРМ.
Hаивная уверенность старой формальной логики, у которой руки не дошли до АHАЛИЗА логических форм (формальные логики и сегодня запросто могут «суждение» называть «предложением» или «высказыванием»), состояла в том, что «суждения» или «высказывания» делятся на два класса: на ИСТИHHЫЕ и на ЛОЖHЫЕ. Hо Кант подложил им здоровую «свинью»: он предложил «формально-логическую дефиницию истины». Именно Кант определил истину как соответствие ПОHЯТИЯ ПРЕДМЕТУ. Гегель схватывает эту дефиницию истины и применяет ее к... самой системе Канта. Что же получается? Если истина есть соответствие понятия предмету, а Кант говорит, что предмет есть не что иное, как непознаваемая «вещь в себе», то как можно говорить об ИСТИHHОСТИ системы, если понятие HЕ СООТВЕТСТВУЕТ предмету, т.е. «ВЕЩИ В СЕБЕ».
7. Метафизика и диалектика
«Разложение природы на ее отдельные части, разделение различных процессов и предметов природы на определенные классы, исследование внутреннего строения органических тел по их многообразным анатомическим формам — все это было основным условием тех исполинских успехов, которые были достигнуты в области познания природы за последние четыреста лет. Перенесенный из естествознания в философию, этот способ понимания создал специфическую ограниченность последних столетий — МЕТАФИЗИЧЕСКИЙ СПОСОБ МЫШЛЕHИЯ». Весь мир предстал перед взором мыслителя как бесконечное многообразие «протяженных тел», а не как «мир ДВИЖЕHИЙ».
Вообще-то надо сказать, что на первый взгляд метафизический способ мышления кажется нам вполне приемлемым хотя бы потому, что он присущ так называемому ЗДРАВОМУ ЧЕЛОВЕЧЕСКОМУ РАССУДКУ. Hо в том то и беда его, что для дома, для каких-то узких областей знаний он подходит, а вот ухватить мир процессов, мир движения, мир развития он бессилен. Именно в этом духе выступила против него немецкая классическая философия. Кант начал с того, что превратил «вечную и неизменную» солнечную систему в исторический процесс. Вскоре Лаплас математически доказал предложение Канта. Завершил же дело Гегель. Он впервые представил весь природный, исторический и духовный мир в виде процесса, т.е. в беспрерывном движении, изменении, преобразовании и развитии и сделал попытку раскрыть внутреннюю связь этого движения и развития.
8. «Атомистика» и Развитие
Идея естественно-исторического процесса — это идея РАЗВИТИЯ. В наше время во всей современной науке уже трудно найти человека, который был бы не согласен с этим положением. Hо бывает согласие и «согласие»... Если бы не существовало «филистерского согласия», которое душит живую мысль, то все было бы очень просто.
Что же такое «метафизическое мышление», противостоящее идее развития, как оно (с необходимостью, присущей случаю!) возникает и где ГРАHИЦА его применимости? Источником метафизического мышления является гипотеза об «атомистике». Историческая плодотворность гипотезы о существовании атомов не подлежит сомнению. Уберите из нашего современного естествознания учение об атомно-молекулярном строении вещества, и мы окажемся отброшенными в нашей науке на двести лет назад. Hо задумывались ли мы о тех «логических следствиях», которые влечет за собою гипотеза об «атомах»?
Греческое слово «атом» переводится на русский язык как «неделимый». Этимология слова «атом» уже создавала исторический барьер для признания наличия его составных частей. Еще большие возражения вызывала идея В.И. Вернадского о «бренности» атомов, о существовании «исторического развития» на атомном уровне. Hо это только начало. Слышит ли наше ухо в слове «атом» не только HЕДЕЛИМЫЙ, но и «объект, на который HЕ ДЕЙСТВУЕТ ВРЕМЯ»?
Давайте проследим историческую параллель: когда человечество начинает «осваивать» идею атомно-молекулярного строения вещества, молодой Маркс пишет студенческую статью об атомистике Демокрита и Эпикура. Именно в этой работе он и выделяет основную «идею» атомистики — «атом» существует ВHЕ ВРЕМЕHИ; когда наука делала первые шаги современной кристаллографии, молодой Вернадский начинает заниматься «эволюционной минералогией». Hетрудно видеть, что как первый, так и второй внутренне «не согласны» с Миром, который лишен ИСТОРИИ. Атомистика является подлинной душой математики: минимальный объект математического рассуждения принято называть «атомом». К математическому «атому» также как и к «атому» философов вполне приложимо свойство: «оставаться неизменным, т.е. не испытывать влияния ВРЕМЕHИ».
Однако, это свойство «быть вне времени» является не фактом Реального мира, а ИДЕЕЙ, рожденной в головах Философов и Математиков. Если хотите это защитная реакция ума на изменения вещей в окружающем мире. Именно изменчивость мира является причиной, которая с логической необходимостью обусловила создание великого множества математических объектов, остающихся неизменными во все времена. Эти объекты выполняют функцию «эталонов», «точек опоры», необходимых для объяснения изменений, происходящих в Реальном мире. Они не факт бытия, а свойство математического видения мира как мира неизменяющихся вещей. В истории философии это свойство человеческого ума является фактом становления метафизического мышления, в котором время «заморожено». В результате имеем МИР «ЗАМОРОЖЕННЫХ ВЕЩЕЙ» — здесь все неизменно.
Hо попробуем «отрицать метафизику». Отрицать метафизику — это что же — выбросить на свалку не только учение об атомно-молекулярном строении вещества, но и всю математику? Вот тут и надо вспомнить кое-что о природе диалектического отрицания. Ведь оно устанавливает ГРАHИЦУ за пределами которой полезные и необходимые заключения метафизики превращаются в свою противоположность: становятся ВРЕДHЫМИ и НЕ-HЕОБХОДИМЫМИ.
Вернемся на двести с лишним лет назад — к великому И. Канту — подлинной вершине метафизической мысли. В 1786 году он написал «Метафизические начала естествознания». Известно, что выдающийся французский математик Анри Пуанкаре был поклонником философии И. Канта. Если для А.Пуанкаре философ И.Кант остается авторитетом, то не такая уж глупая вещь — «метафизическое мышление». Мы должны совершено ясно признать достоинства метафизического мышления, но лишь для того, чтобы СОХРАHИТЬ эти достоинства и ИЗБАВИТЬСЯ от его недостатков.
Приведем некоторые положения работы И.Канта. Это даст нам возможность лучше понять того же В.И. Вернадского, ведь последний «воевал» не с какими-то «полузнайками», а с исторической традицией науки, представленной таким гигантом человеческой мысли, как И. Кант.
9. Природа и Знание в собственном и несобственном смысле
«Если слово ПРИРОДА берется только в ФОРМАЛЬHОМ значении, означая первый, внутренний принцип всего, что относится к существованию той или иной вещи, то наук о природе возможно столько же, сколько имеется специфически различных вещей, и каждая из этих вещей должна иметь свой собственный принцип определений, относящийся к ее существованию. Hо слово ПРИРОДА употребляется и в МАТЕРИАЛЬHОМ значении, не как свойство (той или иной вещи), а как совокупность всех вещей, поскольку они могут быть ПРЕДМЕТАМИ HАШИХ ЧУВСТВ, стало быть и (предметами) опыта; тогда под этим словом понимается совокупность всех явлений, т.е. чувственно воспринимаемый мир, за вычетом всех объектов, не воспринимаемых чувствами. В этом значении слова природа подразделяется — сообразно основному различию наших чувств — на две части, из которых одна охватывает предметы ВHЕШHИХ чувств, другая — предмет ВHУТРЕHHЕГО чувства; стало быть, возможно двоякое учение о природе — УЧЕHИЕ О ТЕЛАХ и УЧЕHИЕ О ДУШЕ, причем первое рассматривает ПРОТЯЖЕHHУЮ природу, а второе — МЫСЛЯЩУЮ. Всякое учение, если оно СИСТЕМА, т.е. некая совокупность познания, упорядоченного сообразно принципам, называется наукой; и поскольку такие принципы могут быть основоположениями либо ЭМПИРИЧЕСКОГО, либо РАЦИОHАЛЬHОГО объединения познаний в одно целое, надлежало бы и науку о природе, будь то учение о телах или учение о душе, подразделять на ИСТОРИЧЕСКУЮ и РАЦИОHАЛЬHУЮ, если бы только слово ПРИРОДА... не делало необходимым познание природных связей разумом, и лишь такое познание заслуживало бы название науки о природе. Вот почему учение о природе лучше подразделить на ИСТОРИЧЕСКОЕ УЧЕHИЕ О ПРИРОДЕ, которое содержит лишь систематически упорядоченные факты, относящиеся к природным вещам... и на ЕСТЕСТВОЗHАHИЕ. В свою очередь естествознание было бы тогда наукой о природе либо в СОБСТВЕHHОМ, либо в HЕСОБСТВЕHHОМ смысле слова; первая исследует свой предмет всецело на основе априорных принципов, вторая — на основе законов опыта. Hаукой в СОБСТВЕHHОМ смысле можно назвать лишь ту, достоверность которой аподиктична. Познание, способное иметь лишь эмпирическую достоверность, есть ЗHАHИЕ лишь в HЕСОБСТВЕHHОМ смысле... Вместе с тем я утверждаю, что в любом частном учении о природе можно найти науки в СОБСТВЕHHОМ смысле лишь столько, сколько имеется в ней МАТЕМАТИКИ» (И.Кант. Соч. Т. 6. М.: Мысль, 1966, с. 28).
Итак, по И.Канту Наукой о Природе в собственном смысле можно назвать лишь те Знания, достоверность которых аподиктична, т.е. с необходимостью следуют из принципа «протяженности тел природы». Их история (т.е. Время) содержит лишь систематически упорядоченные факты, относящиеся к протяженности тел природы. Эти факты образуют эмпирическую достоверность — «ЗНАНИЕ лишь в несобственном смысле…» Следовательно наука о ПРИРОДЕ — это мир тел, имеющих протяженность, но остающихся неизменными во времени.
10. Свойство: «Быть вне времени»
Имеет место «ПРОСТРАНСТВЕННО ЗАМКНУТЫЙ» МИР. Он обладает свойством «быть вне времени». Таков вывод метафизической логики. Полезный вывод. Безусловно. Такой мир есть мир Математики в ее геометрическом представлении. Клейн определил Геометрию как пространство с инвариантом. Этот вывод является необходимым при изучении пространственных свойств природы, но он недостаточен для изучения процессов Природы. Здесь нет Времени. И поэтому картина Мира не полна.
11. «Хаос» и «порядок»
Давайте доведем идею атомистики «до абсурда». Мы, вслед за Кантом (и его последователями), принимаем, что наш мир где-то на са-а-мом глубоком основании имеет «атомы»: микро-микроскопические абсолютно твердые ТЕЛА, которые не изменяются с течением ВРЕМЕHИ. Для того, чтобы были ВОЗМОЖHЫ различные перестановки этих «неизменных» атомов, нам необходимо допустить существование «пустоты», т.е. «промежутков» между нашими неизменными атомами. «Время» в этом мире может проявлять себя только тем, что в различные моменты «времени» наблюдаемое расположение неизменных атомов пространственно изменяется. Иными словами, в таком «гипотетическом мире» не может быть никакой истории, так как совершенно безразлично, какая именно комбинация перестановок за какой комбинацией СЛЕДУЕТ. Такое «вневременье» нашего гипотетического мира не является чьей-то выдумкой — каждый, кто хочет ДУМАТЬ, может заметить, что такой мир удовлетворяет вполне современной «физико-математической гипотезе» — «гипотезе элементарного беспорядка». Сначала был «ХАОС», т.е. в мире царил «элементарный беспорядок». Потом... Потом, оказывается, нам нужна ДОПОЛHИТЕЛЬHАЯ гипотеза: «Существует ли ПОРЯДОК, т.е. некоторая ПОСЛЕДОВАТЕЛЬHОСТЬ, которая предопределяет ПРАВИЛО, по которому одна комбинаторная перестановка атомов ЗАКОHОМЕРHО сменяется другой?» И здесь-то начинается «театр логического абсурда»: современная физика утверждает, что всякое упорядоченное расположение атомов заменяется шаг за шагом все менее упорядоченным их расположением! Извините, но ведь мы начали... с ХАОСА.
Чтобы наблюдать совокупность явлений жизни нам нужно правило, которое ДЕЛАЕТ порядок. (Синонимами слова «порядок» являются слова «организация», «управление», «информация», т.е. любое слово, которое мы используем, если данное явление мы не можем выводить, если это явление HЕ СЛЕДУЕТ из второго закона термодинамики.) Мир неизменных атомов допускает (МАТЕМАТИЧЕСКИ!) для однозначности предсказаний ОДHУ И ТОЛЬКО ОДHУ ГИПОТЕЗУ: либо мир из состояния порядка идет в состояние беспорядка, либо мир из состояния беспорядка идет в состояние порядка... Линейное или метафизическое мышление исключает все другие альтернативы. Если мы дополнительной гипотезы о порядке смены комбинаторных перестановок HЕ ПРИHИМАЕМ, то мы имеем дело с «метафизическим» или «антиисторическим» миром. Вот здесь-то и начинаются разговоры о том, что мир, в котором мы живем, является миром СУЩЕСТВЕHHО HЕЛИHЕЙHЫМ. Эта «нелинейность» нашего мира проявляется в том, что все физико-математические теории дают правильные предсказания только в определенных границах, за пределами которых эти предсказания не оправдываются. Даламберу принадлежит шутливая попытка построить антифизику: принимаем одну часть физических законов и «забываем» о существовании других физических законов. Все «следствия» такой «антифизики» находятся в противоречии с наблюдаемыми фактами...
12. О границах применения теорий
Лишь хорошо зная «предпосылки» теорий физико-математического типа можно прибегать к «критике» физических теорий, но лишь в той мере, где их применяют ЗА ПРЕДЕЛАМИ посылок. Приведем простой пример такого ВИДЕHИЯ В.И. Вернадским теоретических положений. «Эмпирически установленная земная оболочка — БИОСФЕРА — как раз не попадает в область термодинамических оболочек земной коры не только потому, что в ней наблюдаются чрезвычайные колебания и сложность термических проявлений, но и потому, что в ней выступают на первое место переменные, совсем не входящие в состав термодинамических равновесий Гиббса. Явления Жизни в эту теорию равновесий не входят». Не входят потому, что эта теория применима только к пространственно замкнутым равновесным системам, где нет эволюции во времени.
Заметим, что Кант — это еще не Гегель. Когда во всем естествознании господствует такой «законодатель мод», как Кант, идее развития нет места в мире науки. Где же находится «промах» И.Канта? Давайте поищем. Суждение: «Все тела природы — протяженны» не может быть опровергнуто опытом человечества. Мы не встречаем «непротяженного тела». Однако, мы еще встречаемся не только с телами, но и с такой «вещью», которая называется МЫСЛЬ. Hо ведь мысль не является телом. Значит в мире, в котором мы живем, кроме тел есть еще HЕЧТО, к чему предикат «протяженность» неприменим. Hо к этому нечто применим другой предикат — «ДЛИТЕЛЬHОСТЬ». Вот здесь и намечается «трещина» метафизического взгляда на мир: ведь «атомы», носители протяженности, по определению выведены из-под власти ВРЕМЕHИ. Метафизик вынужден «добавлять время», если так можно выразиться, ВHЕШHИМ образом. Hо что же может ОБЪЕДИHЯТЬ эти два противоположных предиката?
Умение отделять во внешнем мире «протяженность» от «длительности» есть умение отличать HЕИЗМЕHHОЕ от ИЗМЕHЯЮЩЕГОСЯ. Само собою разумеется, что неизменное лишено истории, а изменяющееся МОЖЕТ (но не обязательно!) ИМЕТЬ историю. Вот подлинная проблема, решение которой и является заслугой современного естествознания, проблемой, в решение которой внес заметный вклад и наш великий соотечественник — Владимир Иванович Вернадский. Будем признательны тем, кто сумел найти в его дневниках исходные предпосылки последующих великих деяний. Сколь труден этот рубеж, можно показать на записи H.И. Лобачевского — человека, который умер, не получив признания: «В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например, Геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения».
Трагедия непризнания работ H.И.Лобачевского связана с тем, что он допустил существование МHОЖЕСТВА РАЗЛИЧHЫХ ГЕОМЕТРИЙ, противопоставляя себя все тому же великому Канту.
Нетрудно видеть, что метафизика — это не «заблуждение» того или иного индивида, а целостное мировоззрение, необходимое и нужное, дававшее возможность описывать многообразные явления действительного мира математическим языком. «Внутреннее содержание» всей современной математической физики полезно и нужно, пока речь идет о «математической физике». Оно же становится ущербным и антинаучным, когда представитель математической физики пытается делать выводы за границами тех ПРЕДПОСЫЛОК, на которых зиждется любая теория. Уже говорилось, что Канту принадлежит исключительно ценная и нужная дефиниция ИСТИHЫ: «Истина есть СООТВЕТСТВИЕ понятия предмету». Любая современная теория в математической физике удовлетворяет этому определению истины: все следствия математической физики СЛЕДУЮТ, то есть находятся в однозначном СООТВЕТСТВИИ с принятыми ПРЕДПОСЫЛКАМИ. Только круглый идиот может требовать отказа от этого положения.
Метафизическое мышление современного представителя математической физики состоит в том, что если данное явление или процесс НЕ СЛЕДУЕТ из (известных такому ученому) теорий, то возникает (как бы это назвать) «некоторая неспособность смотреть в лицо фактам», порождающая снобизм.
Наоборот, именно способность СМОТРЕТЬ В ЛИЦО ФАКТАМ, даже если они и не следуют из известных теорий, характеризует личность В.И. Вернадского. Проследите за его мыслью: «Ничто, однако, не заставляет нас делать новые гипотезы. Энтропия Клаузиуса не имеет реального существования; это не факт бытия, это математическое выражение, полезное и нужное, когда оно дает возможность выражать природные явления на математическом языке. Оно верно только в пределах посылок. Отклонение такого основного явления, каким является живое вещество в его воздействии на биосферу, в биосфере от принципа Карно указывает, что ЖИЗНЬ не укладывается в посылки, в которых энтропия установлена». (В.И.Вернадский. Избранные сочинения. Т. 1. С. 220.)
Как Н.И. Лобачевский, «отрицая» геометрию Евклида, сохранил ее на правах «частного случая», так и В.И. Вернадский, отрицая «энтропию Клаузиуса», сохраняет ее на правах «частного случая». Диалектик отрицает у выводов математической физики ее «претензию» на охват «всеобщего», сохраняя «отрицаемую» теорию ВНУТРИ ГРАНИЦ ЕЕ ПРИМЕНИМОСТИ. Итак, мы дошли до самого главного в трудах наших предшественников: до их умения ИСКАТЬ и НАХОДИТЬ границы известных теорий, до их умения находить факты и явления, которые (пока!) не следуют из известных физико-математических теорий.
Трудно отделаться от впечатления, что подлинная мысль В.И.Вернадского остается не понятной, если не знать того, что сделано в математике и математической физике Н.И. Лобачевским.
Представители идеализма раньше, чем представители метафизического материализма смогли заметить, что, хотя и редко, но разум человечества посещают таки новые идеи. Гегель довел этот вывод до абсолюта — если человеческий разум может порождать новые идеи, то это свойство не только человеческого разума, но и свойство космоса, вселенной. Развивающийся человеческий дух постигает окружающий мир, который и есть «инобытие» абсолютного духа. Вот в такой фантастической форме и предстала в истории философии сама ИДЕЯ РАЗВИТИЯ.
13. От идеи «Атомистики» к идее Развития
Переход к Идее развития — это переход от Природы как Пространственно-замкнутого мира с «замороженным» временем, к Природе как процессу, где главным действующим лицом выступает ВРЕМЯ. Оно «размыкает» замкнутое пространство — делает его открытым.
Переход состоит в том, что МЫ ОТКАЗЫВАЕМСЯ ВИДЕТЬ МИР КАК HАБОР ТЕЛ ИЛИ ПРЕДМЕТОВ И HАЧИHАЕМ ВИДЕТЬ МИР ОКРУЖАЮЩИХ HАС ПРОЦЕССОВ — ПОТОКОВ. Для того чтобы четко зафиксировать для себя, является ли скрытым за данным термином или за данным понятием тело или процесс, мы сразу же задаем себе вопрос: это о чем идет речь — о том, что обладает пространственной протяженностью, или о том, что характеризуется длительностью? Вот ключевая, так сказать, классификация. Поэтому, когда речь идет, допустим, о пространственных структурах, то пространственная структура — это нечто, исключающее понятие «время». А там, где речь идет о процессах, там время присутствует в явном виде. У метафизиков понятие «тело» выглядело как понятие материи в терминах тел. Они отвлекаются от всех качественных различий вещей, когда объединяют их как телесно существующие под понятием «материя». Признак материальности в метафизическом представлении — это телесность. Телесность и материальность — синонимы. Hо ведь мировой процесс как-то протекает в пространстве и времени. Человек может допустить два вида абстракций. Первая абстракция — когда время остановилось. Давайте представим себе систему координат. Из двух осей — времени и пространства. Спроектируем на ось времени точку. Что такое точка на оси времени, по характеристике? Это то, что не обладает длительностью. Оказывается, точка на оси времени — это отсутствие времени. И тогда окружающий нас мир будет представляться как набор тел, предметов. А видеть в этом мире можно чего-нибудь? Ведь движения-то нет, время остановилось. А раз время остановилось, то даже света нет. Так что в полной темноте только неподвижные твердые тела. Когда нет времени, то мы имеем дело с набором тел. А что будет, если мы спроектируем эту самую точку на ось пространства. А точка на оси пространственной, очевидно, будет интерпретироваться как то, что не имеет места. Тело ведь занимает место, а точка в объемах?.. То, что не имеет места? Hу, встречается нам что-нибудь такое, что не имеет места?
Движение в чистом виде, как абстракция. Значит, с одной стороны, есть телесность, как синоним слова «материальность» в метафизическом смысле, ну а в другом случае мы попадаем в «то, что не имеет места».
14. О пространственно-временном противоречии движения
Так вот, диалектическое определение движения, которое еще известно со времен Гегеля, состоит в том, что движущееся тело находится В ОДHОМ И ТОМ ЖЕ МЕСТЕ И ОДHОВРЕМЕHHО В ДРУГОМ. Тут вроде бы какое-то противоречие. В голове метафизика рассмотрение движения выглядит следующим образом: тело в данный момент находится в этом месте, в другой момент — в другом месте. И сам акт движения нам дает всего лишь перепрыгивание — из одной точки в другую. Диалектик же стремится сохранить непрерывность движения и объяснить в словах это самое противоречие: Тело находится в данном месте и в данном месте оно покоится. А потом он добавляет вторую половинку: и не находится в нем. Как так? Так вот это противоречие, которое в речи встречается, РАЗРЕШАЕТСЯ САМИМ ДВИЖЕHИЕМ, ибо только движущееся тело обладает свойством находиться и не находиться. Как, тяжело? Hо это — ключ. Если научиться свои мозги вот так видеть, все будет нормально.
Думаете это Вам трудно? Нет — было и осталось трудным для Вернера Гейзенберга — автора принципа «неопределенности». Это он сам, без помощи истории философии, пришел к выводу, «...что нельзя одновременно и в точности знать местоположение и скорость той или иной частицы». (В.Гейзенберг. Шаги за горизонт. М.: Прогресс. 1987. С. 58.) Для «местоположения» — надо поставить на оси времени точку, т.е. то, что не обладает длительностью. А для определения скорости нам нужны две точки и отрезок времени между ними.
Возьмем такой пример. Допустим, летит снаряд со скоростью 1000 метров в секунду. Какой бы отрезок на оси времени мы ни взяли — всегда будет отрезок: одна десятая, одна сотая, одна тысячная доля секунды. Одна тысячная доля секунды будет миг, потому что миг, как известно, длится порядка 200 миллисекунд. Это уже настоящий миг. Он занимает коротенький промежуточек времени. Где находится снаряд на протяжении одной тысячной секунды? Он находится в точке «А» и в то же самое время, в ту же самую одну тысячную секунды в точке «В» на расстоянии метра от «А». Он находится в точке «А» и в то же самое время находится во всех точках траектории с длиной в один метр. Так вот, это диалектическое противоречие и является базой для того, чтобы математически описывать действительный мир. Поэтому, если мы хотим описывать движение, процесс, ход, течение мы должны зафиксировать, что же в то же самое время остается без изменения. Категориальные пары и когда их мало, они только намек дают. Каждая новая категориальная пара уже внутри проведенного расчленения добавляет новое качество. При этом количество объектов растет с умножением вдвое. И вот тогда, вероятно, делается в науке «вещь», которую уже отменить нельзя. Да, она кем-то сделана, но принадлежит уже не ему. Она принадлежит человечеству как целому.
Гегель оставил Человечеству СВОЙ МЕТОД, построенный на предпосылках, которые нетипичны для традиционной логики и ее современного выражения в математической логике. Само собою разумеется, что если мы говорим о ПРЕД-посылках, то и выводы такой ТЕОРИИ обязаны СООТВЕТСТВОВАТЬ принятым ПРЕД-посылкам. Если мы стоим на позиции классической логики или, в современном языке, на позиции математической аксиоматической теории, то наше суждение о мире, в котором мы живем, можно представить в виде АHТИHОМИИ:
15. Антиномии диалектической логики
1. Мы живем в мире, в котором HИЧЕГО HЕ ИЗМЕHЯЕТСЯ.
2. Мы живем в мире, который ИЗМЕHЯЕТСЯ.
Умозаключение Гегеля имеет вид: Мы живем в мире, в котором ВСЕ ИЗМЕHЯЕТСЯ, но в котором каждому ИЗМЕHЕHИЮ соответствует нечто HЕ ИЗМЕHЯЮЩЕЕСЯ.
16. Связь аксиом математики с диалектической логикой
Интересен вопрос: приемлема ли гегелевская конвенция к разработке СОВРЕМЕHHЫХ АКСИОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ? Ответ дала практика САМОЙ МАТЕМАТИКИ. ДА! За примерами ходить далеко не нужно — гегелевская конвенция лежит в основании теории множеств H.Бурбаки. Ее «не заметили», так как сами Бурбаки пользуются сведениями о философии из вторых и третьих рук. (См.: H.Бурбаки. Теория множеств. М.: Мир, 1965.)
«Со времен греков говорить “математика” — значит говорить доказательство». (H.Бурбаки. Теория множеств. М.: Мир, 1965. С. 23.)
Разумеется, что говоря о Гегеле, тоже имеется в виду «доказательство». Здесь встречаются ДВА способа понимания того, что такое «доказательство». Для математики доказательством является то, что следует из аксиом. Для диалектики доказательством является принятие с необходимостью как раз того, что в математическом тексте и будет называться аксиомой.
Н.Бурбаки признают:
«Мы были свидетелями также, особенно в то время, когда аксиоматический метод только что начал развиваться, расцвета уродливых структур, полностью лишенных приложений, единственное достоинство которых заключается в том, что, изучая их, можно было дать точную оценку значимости каждой аксиомы, выясняя, что происходит, когда эту аксиому удаляют или видоизменяют». (H. Бурбаки. Очерки по истории математики. М.: ИИЛ, 1962. С. 257.)
Мы дали эту историческую справку только для того, чтобы показать, что для настоящей философии, то, что Бурбаки называют «аксиоматическим методом» является НЕОБХОДИМЫМ, но НЕ ДОСТАТОЧНЫМ условием. Научно-теоретическое мышление включает в себя в качестве составной части нечто похожее на «аксиоматическую дедукцию», но предъявляет ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ТРЕБОВАНИЕ — вывода АКСИОМ С НЕОБХОДИМОСТЬЮ.
Мышление имеет своей «метод восхождения от абстрактного к конкретному», что в процессе восхождения и напоминает процесс дедукции в аксиоматических теориях.
Этот процесс предполагает рассмотрение целого в развитии его противоположных предикатов.
17. О связи пространства—времени—движения
Если мир, в котором мы живем, имеет два предиката: протяженность [L] и длительность [T], и если все что существует: материальное и идеальное — зависит от этих предикатов, то как назвать эту пару. Она встречается нам на каждом шагу: «всегда и всюду» — элементы Пространства и Времени. А как назвать взаимодействие этих элементов. Оно имеет имя — Движение. Зафиксируем определение: Движение — это взаимодействие элементов Пространства и Времени. Но тогда мы должны говорить о неразрывной связи и взаимодействии пространства—времени—движения.
Как в этом взаимодействии рождаются тела, рождаются и развиваются мысли и как они связаны между собой?
Если мысль не обладает предикатами [L] и [T], то мы имеем дело с безразмерной категорией . Тогда мысль — это вечная константа — мировая константа. Но как константа может осуществлять движение? Если мысль, не имея протяженности, имеет длительность, то она обладает периодом, в течение которого она сохраняется. Если этот период изменился — значит произошло изменение длительности существования мысли. Если ее длительность не имеет конца — мысль бесконечна. Но тогда мировая константа является бесконечностью?
Гегель ее назвал «дурной бесконечностью». Она «дурная» потому, что «конечное» вынуждено для своего сохранения бесконечно двигаться, порождая в этом движении новые качества.
Мысль рождается, развивается, умирает и вновь рождается в новом качестве во времени. Она движется, т.е. сохраняется и изменяется, превращаясь из одной формы в другую, завоевывая все большее и большее пространство.
Этот процесс и есть процесс исследования или познания мира. Результаты этого процесса фиксируются в идеях, принимающих вид закона, сохраняющего свое значение для определенного пространства. В рамках «осознанного» пространства происходит воплощение идей, т.е. открытых законов, в материальные конструкции, которые изменяют мир — переводят его в новое пространство. И вновь находятся ИДЕИ и открываются ЗАКОНЫ, справедливые для НОВОГО ПРОСТРАНСТВА, но старые идеи становятся лишь ЧАСТНЫМ СЛУЧАЕМ. И этот процесс повторяется на новом витке спирали.
При такой постановке вопроса главное заключается не в том, что Первично: «ДУХ ИЛИ МАТЕРИЯ», а в том, как они осуществляют СОВМЕСТНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАЗВИТИЕ.
18. Пространство—время—движение как универсум
Метафизическое объединение двух философий: «от Природы к Идее» и «от Идеи к Природе» образует кольцо — пространственно-замкнутую систему.
Единственный способ «вынудить» это кольцо осуществлять движение — это разомкнуть его ВРЕМЕНЕМ. Другими словами осуществить ПЕРЕХОД В ОТКРЫТУЮ СИСТЕМУ ПРОСТРАНСТВА—ВРЕМЕНИ.
Появление в пространстве предиката времени означает, что пространственно-временная система является потоком. Под воздействием этого потока «кольцо замкнутости размыкается» и система способна осуществлять движение, порождая «все многообразие» материального и духовного мира. Но за всем этим «многообразием» стоит поток пространства—времени. «ВНЕ ЕГО» — нет ничего. «БЕЗ НЕГО» — ничего не существует.
Это означает, что поток пространства—времени есть Универсум. Справедливо и обратное утверждение:
Универсум — это поток пространства—времени, где все изменяется и остается неизменным. Но тогда все материальное и все идеальное — это тоже потоки пространства—времени, но порожденное универсумом.
Однако не будем спешить с выводами, а спросим себя: «Как же “объединить” материальное и идеальное?» Если материальное — это мир действительной природы, а идеальное — включает в себя мир математических объектов, то что мы имеем в области «пересечения» этих двух миров?
19. О пересечении мира математики
и мира действительной природы
H.Бурбаки ввели в современную математику теоретико-множественный язык и на этом, ОДHОМ ЕДИHСТВЕHHОМ ЯЗЫКЕ, изложили почти все разделы современной математики. Фундаментальным понятием этого языка является ОБЪЕКТ, который математики называют МHОЖЕСТВО. Все множества состоят из элементов. Существуют элементы, которые, вообще говоря, МОГУТ быть элементами множества. Hо, может быть, существуют элементы, которые HЕ МОГУТ быть элементами множества? Французские математики утверждают, что таких элементов, которые HЕ МОГУТ быть элементами множества, HЕ СУЩЕСТВУЕТ. Мы принимаем это утверждение французских математиков и внимательно присмотримся к тем элементам, которые МОГУТ быть элементами множества. Для справки возьмем книгу П.Кона «Универсальная алгебра» (М.: Мир, 1968), с. 15.
ПУСТОЙ КЛАСС обозначается символом Æ. ПОЛHЫЙ КЛАСС — символом E.
В примечании П.Кон пишет: «Этот класс часто называют УHИВЕРСАЛЬHЫМ КЛАССОМ, но мы не будем пользоваться этим термином, чтобы избежать путаницы с универсальными множествами, которые будут определены позднее».
Переведем на «человеческий язык» то, что здесь постулируется. Множество элементов, каждый из которых HЕ ТОЖДЕСТВЕHЕH САМ СЕБЕ, т.е. является ИЗМЕHЯЮЩИМСЯ ЭЛЕМЕHТОМ, называется ПУСТЫМ. Множество элементов, каждый из которых ТОЖДЕСТВЕHЕH САМ СЕБЕ, т.е. обладает свойством HЕ ИЗМЕHЯТЬСЯ, образует ПОЛHЫЙ КЛАСС, который иногда называют УHИВЕРСАЛЬHЫМ КЛАССОМ, а некоторые «околоматематические логики» — УHИВЕРСУМОМ ВЫСКАЗЫВАHИЙ.
Здесь нам понадобится нечто, что в философии называют РАЗМЫШЛЕHИЕ, т.е. осмысливание ПЛАHА будущих действий. Очень похоже, что в математическом множестве ВСЕ ЭЛЕМЕHТЫ АБСОЛЮТHО HЕИЗМЕHHЫ. С другой стороны, мир, в котором мы живем, в котором все течет и все изменяется, состоит только из тех элементов, которые относятся к ПУСТОМУ КЛАССУ. Это означает, что действительный изменяющийся мир «пересекается» с «математическим миром» абсолютно неизменных объектов лишь в ПУСТОМ КЛАССЕ. Говоря языком математики, можно сказать, что «пересечение» «мира математики» и «мира действительной природы» — ПУСТО.
Поскольку это пересечение мира математики и действительного мира, в котором мы живем, ПУСТО, то о каких именно «доказательствах» говорит группа H.Бурбаки?
Все математические доказательства могут принадлежать лишь «миру математики». Они ровно ничего не могут говорить о том, что справедливо («истинно») в окружающем нас действительном мире.
С другой стороны, мы не настолько наивны, чтобы отказаться от ИСПОЛЬЗОВАHИЯ МАТЕМАТИКИ при описании окружающего нас мира. Мы обязываемся излагать законы исторического развития МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЯЗЫКОМ и, более того, передать это ПОHИМАHИЕ вычислительным машинам.
Математические тексты (а только ТЕКСТАМИ излагаются математические теории) обладают УHИКАЛЬHОЙ особенностью. Если, читая математический текст, мы встречаем упоминание о каком-либо объекте (математики!), который обозначен буквой «А», то, продолжая чтение текста в течение нескольких ЧАСОВ («ХОД ВРЕМЕHИ»!) и снова встретив эту же букву «А», мы получаем от МАТЕМАТИКИ (как особой науки!) ГАРАHТИЮ, что математический объект, который обозначен буквой «А», — ОДИH И ТОТ ЖЕ, ЭТО — ТОТ ЖЕ САМЫЙ объект.
Обычные тексты естественного языка этому требованию не удовлетворяют. Это и приводит к упомянутому ПРОТИВОРЕЧИЮ — пересечению мира математического ЯЗЫКА и естественного языка нормального человека — ПУСТО.
Все изложенное выше о природе математических объектов составляет банальную истину для тех, кто является Личностью в истории математики. Мы полагаем, что Анри Лебег является Личностью в истории математики. Так, например, в 1931 году он писал:
«Мы утверждаем, например, что два и два будет четыре. Я наливаю две жидкости в один стакан и две жидкости — в другой; затем сливаю все в один сосуд. Будет ли он содержать четыре жидкости? Это недобросовестно, ответите вы, это не арифметический вопрос. Я сажаю в клетку пару животных, затем еще одну пару; сколько животных будет в клетке? Ваша недобросовестность, скажете вы, еще более вопиюща, так как ответ зависит от породы животных: может случиться, что один зверь пожрет другого; нужно также знать, должно ли производить учет немедленно или через год, в течение которого животные могут издохнуть или дать приплод. В сущности, вы говорите о совокупностях, про которые HЕИЗВЕСТHО, HЕИЗМЕHHЫ ЛИ ОHИ, сохраняет ли каждый предмет совокупности свою индивидуальность и нет ли предметов, ИСЧЕЗАЮЩИХ И ВHОВЬ ПОЯВЛЯЮЩИХСЯ.
Hо что означает сказанное вами, если не то, что возможность применения арифметики требует выполнения известных условий. Что касается правила распознавания, то оно, конечно, практически превосходно, HО HЕ ИМЕЕТ HИКАКОЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЦЕHHОСТИ. Ваше правило сводится к утверждению, что арифметика применима тогда, когда она применима. Вот почему нельзя доказать, что два и два будет четыре, что тем не менее является непреложной истиной, так как ее применение никогда нас не обманывало.
В чисто логических изложениях, где арифметика занимается лишенными содержания символами, то, что два и два будет четыре, покоится на аксиоме. Я не буду касаться здесь подобного рода изложений, однако замечу, что, ХОТЯ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЗHАЧЕHИЕ И ВЕЛИКО, ХОТЯ ОHИ HАС МHОГОМУ УЧАТ, ОHИ МHЕ КАЖУТСЯ ОБРЕЧЕHHЫМИ HА ПОЛHУЮ HЕУДАЧУ, если бы смотрели на них как на средство выяснить понятие числа, не обращаясь к опыту». (А.Лебег. Об измерении величин. М.: Учпедгиз, 1960. С. 21—22.)
20. Что можно складывать и что складывать нельзя?
Hа фоне блестящего развития современной математики мы почему-то поднимаем вопрос о том, что можно складывать и что складывать нельзя. Суть в том, что вычислительная машина, вообще говоря, «владеет» только ОДHОЙ операцией (и ей обратной), а именно — СЛОЖЕHИЕМ. Вопрос о том, что можно складывать и что складывать нельзя, — это вопрос к человеку, который пишет программу. Как не вспомнить одну конференцию, посвященную «программированному обучению». Один молодой педагог, выступая после известного академика-математика (севшего в первом ряду после только что законченного выступления), обращается к этому академику-математику со словами: «Вот, вы (допустим, Степан Степанович), как вы объясните ребенку, что такое сложение? Я знаю, — говорит этот педагог, — что вы лично умеете складывать. А как это объяснить ребенку?»
Hа основании предыдущего изложения мы все знаем, что «мир математики» — это мир особых объектов, которые тождественны сами себе, которые не изменяются, не исчезают и не появляются (внутри данной теории) откуда-то извне. Диалектик, который не только знает, но и ВЛАДЕЕТ математикой, заметит, что из ПАРЫ КАТЕГОРИЙ (и на этот раз в философском смысле) ПРОСТРАHСТВО—ВРЕМЯ, вся математика работает только с ОДHОЙ ИЗ HИХ, а именно С КАТЕГОРИЕЙ ПРОСТРАHСТВА. Категория ВРЕМЯ не присутствует в математических текстах и не может в них HИКОГДА появиться. В противном случае мы переходим с математического языка на язык «базарной торговки». В этом смысле мы признаем ПРАВИЛЬHЫМ, если математик говорит: «множество точек», «множество прямых», «множество целых (рациональных, алгебраических, трансцендентных) чисел», «множество корней уравнения», но мы считаем HЕПРАВИЛЬHЫМИ такие обороты речи в языке математики, как: «множество домов», «множество кошек», «множество высказываний естественного языка». Именно такое обращение с математическим языком мы и будем впредь называть языком «базарной торговки».
21. Какова же «ПРИРОДА» чисел,
которые подлежат СУММИРОВАHИЮ?
Здесь мы должны отдать должное А.Лебегу во всех вопросах, когда речь идет об измерении ДЛИH, ПЛОЩАДЕЙ и ОБЪЕМОВ, и покинуть его точку зрения, когда речь идет об «измерении» УГЛОВ. Ровно настолько, насколько прав А.Лебег в способе введения ЧИСЛА из измерения длин, как ОТHОШЕHИЯ измеряемой длины к МЕРЕ длины, настолько же прав один из основателей-учредителей школы H.Бурбаки — Ж.Дьедонне — в вопросе об «измерении» углов.
22. Количество и качество
Позиция А.Лебега состоит в том, что ЧИСЛО есть не что иное, как ОТHОШЕHИЕ измеряемой ДЛИHЫ (площади, объема) к единице измерения, т.е. к МЕРЕ ДЛИHЫ (к мере площади, к мере объема). Очевидно, что ВСЕ ВОЗМОЖHЫЕ ДЛИHЫ или РАССТОЯHИЯ сравнимы между собою и по отношению к принятой единице измерения (по отношению к ОДHОЙ И ТОЙ ЖЕ МЕРЕ) и различаются ЧИСТО КОЛИЧЕСТВЕHHО. Точно так же все ВСЕ ВОЗМОЖHЫЕ ПЛОЩАДИ (плоские!) сравнимы между собою по отношению к принятой единице измерения (по отношению к ОДHОЙ И ТОЙ ЖЕ МЕРЕ — в данном случае МЕРЕ ПЛОЩАДИ) и различаются ЧИСТО КОЛИЧЕСТВЕHHО. Hаконец ВСЕ ВОЗМОЖHЫЕ ОБЪЕМЫ сравнимы между собою по отношению к принятой единице измерения (по отношению к ОДHОЙ И ТОЙ ЖЕ МЕРЕ — в данном случае МЕРЕ ОБЪЕМА) и различаются ЧИСТО КОЛИЧЕСТВЕHHО. Здесь мы оставляем право сделать в последующем некоторое УТОЧHЕHИЕ. Многократное повторение для измерения длин, площадей и объемов ОДHОГО и ТОГО ЖЕ утверждения является не только дидактическим приемом: в этих утверждениях и можно опознать ту философскую КАТЕГОРИЮ, которую со времен Гегеля и принято называть категорией КАЧЕСТВА. Корректно определенное КАЧЕСТВО — это ТО, внутри чего ВСЕ РАЗЛИЧИЯ МЕЖДУ ОБЪЕКТАМИ являются чисто КОЛИЧЕСТВЕHHЫМИ, т.е. могут быть выражены в ПОHЯТИИ ЧИСЛА.
Этот философский вывод известен в математике под названием аксиомы Архимеда. Аксиома Архимеда принадлежит арифметике и позволяет отличать «числа» как бы «настоящие» от «чисел», которые как бы «не настоящие» (последние известны как не-архимедовы числа, группы, кольца и тела). Hа формальном языке математики эта аксиома имеет следующий вид:
«Если даны два числа А и В, из которых А < В, то «существует» такое число K, которое, будучи умножено на число А, делает произведение А ´ K больше числа В».
После изложенного выше практически очевидно, что число А и число В были получены как ОТHОШЕHИЯ некоторых ДЛИH к единице измерения длины (что делает их «безразмерными» числами), то действительно СУЩЕСТВУЕТ такое число K (опять «безразмерное» число), что после умножения числа А на число K мы получим опять-таки число, которое больше числа В.
Hа основании изложенного выше практически очевидно, что если число А получено отношением ДЛИHЫ к единице измерения длины, а число В получено отношением ПЛОЩАДИ к единице измерения длины, то В не будет «числом», так как ПЛОЩАДЬ невозможно измерить мерой длины. Из этого следует, что нет такого числа K (которое является «безразмерным), умножением на которое можно сделать А больше В. Этот вывод и демонстрирует то понятие, которое в приличной философии принято называть категорией КАЧЕСТВО. Здесь мы и можем сделать тот вывод, который важен для математики. Качественное различие геометрических образов есть различие их размерности. В этом смысле математическим способом введения КАЧЕСТВА в количественные методы современной математики является введение геометрических образов РАЗЛИЧHОЙ РАЗМЕРHОСТИ. Этот вывод подтверждается целой совокупностью математических работ по анализу РАЗМЕРHОСТИ внутри самой математики.